Малыш явно голодный, зобик пустой. Видимо неопытные родители не кормили  Корм гречиха- это что? Подробнее, пожалуйста напишите. Не увидела в рационе мешанки из яйца и моркови? Не даете? Возможно им не хватает мягкого корма. Еще яйца остались, не вылупились? Родители насиживают?
Если еще вылупятся птенцы, вам нужно наблюдать и если не кормят, помогать.

Подробнее о кормлении: здесь
Запаситесь безмолочной детской  кашей!

Жаль птенца..

Про кормление здесь. Дозировки по дням вторым сообщением, в первом - полезные ссылки. Шприц покупайте тоже прямо завтра на всякий случай. Они не дорогие.

То, что вы пишете, что самка не привыкла есть влажный корм - это всегда так, нито не кормит птиц им постоянно. Но на уровне рефлекса они начинают его охотно есть, когда ждут птенцов и когда те вылупляются.
Почему только белок и почему перепелиного яйца выдаете?
У моих птиц было 4 птенца, у меня уходило полтора-два КУРИНЫХ яйца в день, давала 3-4 раза по половинке (смешанное  с тертой морковкой).
Гречку вы как-то долго замачиваете. В кипятке это делаете? Возможно, в ней остается много воды, птицы многие не любят этого. Я делала так - горсть гречки заваривала кипятком в заварочной чашке (с металл.сеткой). 10 минут, сливала воду, заливала кипятком снова, через еще 10 минут у меня уже была ЗАПАРЕННАЯ, а не замоченная гречка. ее я высыпала на бумажное полотенце на пару минут, чтобы остыла и отдала лишнюю воду, потом давала птицам..

Сколько лет вашим птичкам? Вы их как-то готовили к гнезду? Витамины, кальций, яйца, что давали? Какое гнездо, скиньте фотку?
Не выкидывайте пока яйца, возможно вылупится.)

Насчет того, как узнать, кормят они или нет - прислушайтесь к гнезду. Птенец издает звуки пищащие "пип-пип" или "тиц-тиц", а когда его кормят родители, идет очень быстрое и достаточно легко слышимое "тиц-тиц-тиц-тиц-тиц" на протяжении секунд 10-15 то точно...
Кстати, есть ли жизнь в яйце я тоже услышала через стенку домика. В полной тишине приложив ухо к стенке домика, услышала слабое попискивание из яйца. В этот же день оно вылупилось.

Если придется самим кормить, потом нужно возвращать же в гнездовой домик? Как к этому относится будут родители?

Да, обычно возвращают домой (либо делается специальное "гнездо" с подогревом, отдельно от родителей). Родители, обычно, спокойно на это реагируют. Но все птицы разные, и реакцию предугадать невозможно.

Hollyst, если Вы не отвечаете, тема видимо уже не актуальна. Но причина гибели здесь понятна. Не птицы не кормили, а им элементарно нечем было кормить птенцов. Жалко.